Pero eso no estaba claro. Tuvieron que analizar un conjunto especial de funciones llamadas sumas de tipo I y tipo II para cada versión del problema, y luego demostrar que las sumas eran equivalentes independientemente de las restricciones que utilizaran. Sólo entonces sabrán Green y Sawhney que pueden sustituir números primos aproximados en su prueba sin perder información.
Pronto se dieron cuenta: podían demostrar que las ecuaciones eran equivalentes utilizando una herramienta que cada uno de ellos había encontrado de forma independiente en trabajos anteriores. La herramienta, conocida como norma de Gowers, fue desarrollada hace décadas por matemáticos. Timothy Gowers Medir qué tan aleatoria o estructurada es una función o un conjunto de números. A primera vista, el ideal de Gower parece pertenecer a un ámbito de las matemáticas completamente diferente. “Desde fuera es casi imposible decir que estas cosas están relacionadas”, dijo Sawhney.
Pero utilizando un resultado revolucionario demostrado por matemáticos en 2018 terencia también Y Tamara ZieglerGreen y Sawhney encontraron una manera de conectar la regla de Gowers y las sumas de tipo I y II. Básicamente, necesitaban utilizar las reglas de Gower para demostrar que sus dos conjuntos primos (el conjunto construido con números primos aproximados y el conjunto construido con números primos reales) eran suficientemente similares.
Al final resultó que, Sawhney sabía cómo hacerlo. A principios de este año, para resolver un problema no relacionado, desarrolló una técnica para comparar conjuntos utilizando las reglas de Gower. Para su sorpresa, la técnica fue lo suficientemente buena como para demostrar que los dos conjuntos tenían las mismas sumas de tipo I y II.
Teniendo esto en cuenta, Green y Sawhney demostraron la conjetura de Friedlander e Iwaniek: hay infinitos números primos que se pueden escribir PAG2 + 4q2. Al final, pudieron ampliar sus resultados para demostrar que otros tipos de familias también tienen infinitos números primos. El resultado marca un avance significativo en un problema donde el progreso suele ser muy raro.
Más importante aún, el trabajo muestra que la ideología de Gowers puede servir como una herramienta poderosa en un nuevo ámbito. “Debido a que es tan nuevo, al menos en esta parte de la teoría de números, existe la posibilidad de hacer muchas otras cosas con él”, dijo Friedlander. Los matemáticos esperan ahora ampliar el alcance del ideal de Gowers, intentar utilizarlo para resolver otros problemas de la teoría de números más allá del conteo de primos.
“Es divertido para mí ver cosas en las que pensé hace un tiempo”, dijo Ziegler. “Es como ser padre, cuando liberas a tu hijo y éste crece y hace cosas misteriosas e inesperadas”.
historia original Reimpreso con autorización de Revista QuantaUna publicación editorialmente independiente. Fundación Simons Su objetivo es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los avances y tendencias de la investigación en matemáticas y ciencias físicas y biológicas.